Teoría

Trigonometría

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Es la parte de la geometría que estudia la relación entre los lados y ángulos de un triángulo.

Recordemos que:

Se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que tenga un ángulo recto (90°).

En todo triángulo rectángulo debemos tener en cuenta:

• El Teorema de Pitagóras.
• La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
• La suma de los ángulos de todo triángulo rectángulo (No rectos) es igual a 90°.

En todo triángulo rectángulo, cada cateto recibe un nombre, dependiendo del ángulo agudo que considere:

Si considero α

→ Cateto Opuesto (Lado opuesto) = C

→ Cateto Adyacente (Lado que forma el ángulo recto) = B

Si considero β

→ Cateto Opuesto (Lado opuesto) = B

→ Cateto Adyacente (Lado que forma el ángulo recto) = C

Se llama razones trigonométricas a las que relacionan las medidas de los lados, de un triángulo, con los ángulos del mismo. Éstas se definen en: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, secante y cosecante. Las más conocidas son Seno, Coseno y Tangente: 

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a 90°.

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a 180°.

ÁNGULOS ADYACENTES Y OPUESTOS POR EL VÉRTICE

ÁNGULOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS. CLASIFICACIÓN

Los ángulos convexos también se clasifican según su amplitud:

FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN LINEAL 

FUNCIONES DEFINIDAS POR FÓRMULAS

FUNCIONES

¿Cómo analizar un gráfico?

S.I.M.E.L.A

El Sistema Métrico Legal Argetino (S.I.M.E.L.A), es el sistema de unidades de medidas vigente en Argentina, de uso obligatorio y exclusivo en todos los actos públicos o privados. Está constituido por las unidades: múltiplos - submúltiplos - prefijos y símbolos del Sistema Intenacional de unidades (S.I)

Adopta las siguientes 7 unidades de base:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionados entre sí por una o mas operaciones. En una expresión algebraica los números se denominan coeficientes y las letras con sus exponentes forman la parte literal.

Cuando la expresión algebraica está formada por un solo término, se denomina monomio; cuando está formada por dos términos, binomio.
   En una expresión algebraica se denominan términos semejantes a los que tienen la misma parte literal.

Operaciones con expresiones algebraicas

Teoría

INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad donde hay por lo menos un dato desconocido. En los números reales, el conjunto de todos los valores que verifican una ecuación se denomina conjunto solución y se lo representa mediante un intervalo real .

Para resolver una inecuación se deben tener en cuenta las siguientes propiedades que permiten obtener inecuaciones equivalentes, es decir, con el mismo conjunto solución .

• Si en una inecuación se suma o se resta un mismo número a ambos miembros, se obtiene una inecuación equivalente a la dada.
• Si en una inecuación se multiplica o divide por un mismo número positivo a ambos miembros, se obtiene una inecuación equivalente formada por una desigualdad que tiene el mismo sentido que la dada.
• Si en una inecuación se multiplica o divide por un mismo número negativo a amos miembros, se obtiene una inecuación equivalente formada por una desigualdad que tiene distinto sentido que la dada.

Teoría

INTERVALOS REALES

Un conjunto de números reales se puede representar de diferentes maneras: a través del lenguaje coloquial, el lenguaje simbólico, en forma de intervalo o en la recta numérica.

En forma de intervalo, el corchete indica que el número pertenece al conjunto y el paréntesis, indica que no pertenece. Esta misma notación se utiliza en la representación en la recta numérica.

Teoría

Ecuación

Se denomina ecuación a toda igualdad en donde aparece por lo menos un valor desconocido llamado incógnita.

Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que hacen verdadera la igualdad. El valor o los valores encontrados forman el conjunto solución de la ecuación.

Para resolver una ecuación se deben tener en cuenta las siguientes propiedades:

• Si en una ecuación se suma o se resta un número a ambos miembros, se obtiene una ecuación equivalente dada.

• Si una ecuación se multiplica o se divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos miembros, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Verificar una ecuación consiste en reemplazar el o los valores encontrados en ella para comprobar si la igualdad se cumple.

http://www.youtube.com/watch?v=uo00mL0VWrU

Acertijos

¡Acertijos!

http://acertijos.elhuevodechocolate.com/de1a12/acertijo7.htm

Respuesta

El camino - Adrián Paenza

Para convencerse de que no existe (ni existirá) una solución al problema, le propongo que hagamos lo siguiente. Voy a poner un círculo alrededor de algunos números (ciudades) y a otros los voy a enmarcar en un cuadrado. ¿Cómo decidir a cuáles ponerles un círculo y a cuáles un cuadrado? Si dos números están conectados por un camino, entonces uno debe tener un círculo y el otro un cuadrado, o sea, tienen que tener dos figuras geométricas distintas alrededor. Por ejemplo, como le puse un círculo al 1, entonces el 2 (que está conectado con el 1) tiene que tener un cuadrado. Pero como el 2 tiene un cuadrado y está conectado tanto con el 6 como con el 9, entonces ambos tienen que tener un círculo. De la misma forma, el 3 y el 8 tienen que tener un círculo, porque están conectados con el 6 que tiene un cuadrado. Y así siguiendo. Más aún: le sugiero que tome la Figura 1 que está más arriba, en donde aparece el planteo del problema, y haga usted la distribución de los círculos y los cuadrados. Verá que obtiene el mismo resultado: tendrán círculos los números 1, 6, 7, 9, 10 y 5, mientras que quedarán con cuadrados el 2, 3, 4, 8 y 11. O al revés: quedarán con cuadrados alrededor el 1, 6, 7, 9, 10 y 5 mientras que tendrán un círculo el 2, 3, 4, 8 y 11. De acuerdo con lo que yo hice en la Figura 2, hay seis números que tienen círculos y cinco que tienen un cuadrado.

Dicho esto, quiero que pensemos juntos algo más que será muy importante: cada vez que caminamos de una ciudad a otra (o bien, de un número a otro), pasamos de un número que tiene un círculo a otro que tiene un cuadrado. O al revés. Es decir, vamos alternando números que tienen un círculo con números que tienen un cuadrado.

Ahora llegó el momento interesante en donde vamos a concluir que el camino que queremos construir no puede existir. ¿Por qué? Como el total de ciudades es 11, entonces usted tendrá que dar 11 pasos para recorrerlas todas y volver a la de partida. Es importante que me siga con este último argumento. Como usted empieza “parado” en algún número, tendrá que dar en total 11 pasos hasta volver al punto inicial (que le permitirá recorrer una vez por cada ciudad que no es la de partida, pero tendrá que volver al lugar inicial). Por eso son 11 pasos. Voy a llamar (CIR) a los números que tienen un círculo y (CUA) a los que tienen un cuadrado. Digamos que empieza parado en un número que tiene un círculo (CIR), cuando da el primer paso llega a un número (CUA). Cuando da el segundo paso llega a un número con un círculo (CIR), y al seguir caminando va alternando (CIR) con (CUA). Como escribí recién, uno tiene que dar en total once pasos.

Fíjese que cada vez que dio un número par de pasos llega a un (CIR). Cuando dio un número impar de pasos, llega a un número (CUA). Y eso debería ser suficiente para convencerla/o de que el camino no va a existir. ¿Quiere pensarlo usted en soledad?

Es que como tenemos que dar once pasos, que es un número impar de pasos y empezamos en un número (CIR), llegaríamos a uno que es (CUA), y eso demuestra que el camino que queremos construir no va a existir, porque el objetivo es llegar a la misma ciudad de partida pasando una sola vez por cada ciudad/número. Por lo tanto, no importa qué camino pretendamos construir, será imposible encontrarlo.

↓Figura 2 ↓

Teoría

GeoGebra

Es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios y universidades. Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo, por lo que puede ser usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas. Su categoría más cercana es software de geometría dinámica.

Con GeoGebra pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, segmentos, vectores, cónicas, etc., mediante el empleo directo de herramientas operadas con el ratón o la anotación de comandos en la Barra de Entrada, con el teclado o seleccionándolos del listado disponible -. Todo lo trazado es modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa a ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A.

GeoGebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.

Biografía

Adrián Paenza

Nombre completo: Adrián Paenza

Lugar de nacimiento: Buenos Aires, Argentina

Fecha de nacimiento: 9 de mayo de 1949

Géneros literarios: Ciencia / Matemática / Divulgación Científica

Libros más destacados: Matemática... ¿Estás Ahí?, Matemática... ¿Estás Ahí? Episodio 2, más resúmenes...

Es Licenciado en Ciencias Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales UBA 1970. Doctor de Ciencias Matemáticas, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales UBA 1979. Profesor adjunto regular del Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias. Exactas y Naturales, UBA. 1979-1986. Profesor asociado regular. Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales UBA 1986-1997. Tesis doctoral. "Propiedades de Corrientes Residuales en el caso de intersecciones no completas", 1979.

Posee una gran trayectoria en los medios televisivo, radial y gráfico. Fue redactor de la Revista Veintiuno, entre otras, y actualmente colabora con algunas notas en Veintitres y revista TXT. Fue co-conductor de “Fútbol de Primera”. Fue conductor de “Lo mejor de la NBA ”. Fue columnista de “Día D” y “Detrás de las noticias”. Fue conductor de “Periodistas”.

Actualmente conduce “Científicos, Industria Argentina”, programa ganador del Martín Fierro 2003 en el rubro cultural/educativo.

Problema

El camino - Adrián Paenza

Suponga que tiene el siguiente mapa con 11 ciudades diferentes. Algunas de las ciudades están unidas por carreteras. Otras no. Las numeré de manera tal de hacer el texto más sencillo. La carretera entre un par de ciudades está indicada por un segmento que las une.

El objetivo es empezar en una ciudad cualquiera (usted elige) y tratar de pasar por todas “una sola vez” y volver a la ciudad de partida.

No es necesario utilizar “todos” los caminos. Pueden quedar algunas carreteras sin utilizar, pero lo que sí, es que cada ciudad debe ser visitada exactamente una vez antes de volver al punto de partida. Este es el dibujo:

¿Se puede? ¿Existe algún camino que usted pueda trazar y que cumpla con las condiciones expuestas más arriba? Si es así, escriba el “orden” en el que hay que recorrer las ciudades.

Si usted concluye que no es posible encontrar el camino, no alcanza con que usted diga “no existe porque yo no lo encontré”. Eso dejaría la posibilidad abierta de que viniera otra persona y sí pueda hallar lo que usted no pudo. Sin embargo, en matemática, cuando uno dice que “tal problema no tiene solución”, lo que uno está diciendo es que no importa el tiempo que pase, ni quién venga, esa solución no va a poder ser encontrada, y para eso, es necesario “demostrar” que la tal solución no existe.

Ahora, como siempre, le toca a usted. 

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¡ EN UNOS DÍAS SUBIREMOS LA RESPUESTA !

Teoría

Supresión de paréntesis

Para suprimir un paréntesis, se debe tener en cuenta el signo que lo antecede:

• Si es un + , los signos que están dentro del paréntesis NO cambian.

1. + (+ 7) = + 7
2. + (- 6)= - 6
3. + (- 7 + 5) = - 7 + 5
4. + (+ 3 - 8 ) = + 3 - 8

• Si es un - , los signos que están dentro del paréntesis CAMBIAN.

1. - (+ 4) = - 4
2. - (-1) = + 1
3. - (- 3 + 9) = + 3 - 9
4. - (+ 7 - 2) = - 7 + 2

Teoría

Adición y sustracción de números enteros

Para sumar y restar números enteros, se realizan los siguientes procedimientos:

+ 8 + 3 = + 11 → Si ambos son positivos, se suman y la suma es positiva.

                       Si tienen distinto signo, al de mayor 
+ 6 - 10 = - 4     módulo se le resta el menor módulo 

- 7 + 9 = + 2      y la suma lleva el digno del mayor 
                           de los números.

- 5 - 2 = - 7     → Si ambos son negativos se suman sus módulos y la suma es negativa.

¿Alguna vez escuchaste hablar acerca de la sucesión de Fibonacci? ¿Imaginas una ecuación capaz de explicar matemáticamente todo en el universo? ¿Crees que semejante cosa realmente sería posible?

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci consta de una serie de números naturales que se suman de a 2, a partir de 0 y 1. Básicamente, la sucesión de Fibonacci se realiza sumando siempre los últimos 2 números (Todos los números presentes en la sucesión se llaman números de Fibonacci) de la siguiente manera:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34...

Fácil, ¿no? (0+1=1 / 1+1=2 / 1+2=3 / 2+3=5 / 3+5=8 / 5+8=13 / 8+13=21 / 13+21=34...) Así sucesivamente, hasta el infinito.

Por regla, la sucesión de Fibonacci se escribe así: xn = xn-1 + xn-2. Hasta acá todo bien, pero de seguro estás preguntándote ¿quién fue Fibonacci?

Bien, Fibonacci fue un matemático italiano del siglo XIII, el primero en describir esta sucesión matemática. También se lo conocía como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo y ya hablaba de la sucesión en el año 1202, cuando publicó su Liber abaci. Fibonacci era hijo de un comerciante y se crió viajando, en un medio en donde las matemáticas eran de gran importancia, despertando su interés en el cálculo de inmediato.

Se dice que sus conocimientos en aritmética y matemáticas crecieron enormemente con los métodos hindúes y árabes que aprendió durante su estancia en el norte de África y luego de años de investigación, Fibonacci dio con interesantes avances. Algunos de sus aportes refieren a la geometría, la aritmética comercial y los números irracionales, además de haber sido vital para desarrollar el concepto del cero.

Número Áureo

Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como "unidad" sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

El número áureo, también conocido como "número de oro" o "divina proporción", es una constante que percibimos a diario, aunque apenas nos demos cuenta. Aparece en las proporciones de edificios, cuadros, esculturas, e incluso en el cuerpo humano. Un objeto que respeta la proporción marcada por el número áureo transmite a quien lo observa una sensación de belleza y armonía. Veamos un poco más en qué consiste.

El número áureo es el punto en que las matemáticas y el arte se encuentran. Existen en matemáticas tres constantes que son definidas con una letra griega:

p=(3,14159…).

Pi, es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

e=(2,71828…)

e, es el límite de la sucesión de término general (1+1/n)^n. e es el único número real cuyo logaritmo natural es 1.

F= (1,61803…).

Phi, el número de oro. Matemáticamente hablando, podemos definirlo como aquel número al que, tanto si le sumamos uno como si lo elevamos al cuadrado, sale el mismo resultado.

Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). Todos ellos son, por tanto, números irracionales.

Pitágoras y su historia

Su nombre completo es Pitágoras de Samos, nació en el año 569 a.C, en Samos, Grecia, y falleció en el 495 a.C, a los noventa y cuatro años, en Metaponto, Italia.

Fue un filósofo y matemático griego, considerado el primer matemático puro. 

Pitágoras fue el creador de La Hermandad Pitagórica. Ésta fue una escuela filosófica en Cretona, al sur de Italia. En ella, participaron trescientos seguidores de Pitágoras, los cuales se denominaban "Matemáticos", vivían en el seno de esta sociedad de forma permanente sin posesiones  personales y eran vegetarianos. Este grupo selecto obedecía a estrictas reglas de conducta; algunas de ellas eran guardar absoluta lealtad y secretismo y que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática. 

En la Hermandad Pitagórica eran aceptados hombres y mujeres. Se influenciaba ciencias naturales como el desarrollo de la matemática, la medicina, la astronomía y la música, entre otras.

Entre ellos se identificaban con un símbolo convencional. Esta secta fue atacada y suprimida en el 460 a.C., donde más de 50 pitagóricos fueron sorprendidos y aniquilados.

Cuando todavía la Hermandad no se había disuelto, Pitágoras descubrió los números irraracionales, mientras que descifraba la hipotenusa de un triángulo rectángulo. La dificultad la tuvo, cuando necesitó averiguar la raíz cuadrada de 2, y se dio cuenta, a medida que experimentaba en la búsqueda del número que multiplicado por sí mismo de 2, que estaba en presencia de un nuevo tipo de números, a los cuales denominó IRRACIONALES, ya que no se pueden expresar como fracción y son infinitos pero sin decimales periódicos.

Pitagóricos celebrando el amanecer

Y por último Pitágoras estableció el Teorema de Pitágoras, que establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

por Adrián Paenza

"Acertijo de la cabeza perdida"

TEORÍA

"El orden de los números enteros"

Los números enteros se ordenan según su ubicación en la recta numérica. Todo número ubicado a la derecha es mayor que cualquiera ubicado a su izquierda. 

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Práctico:

TEORÍA

"La recta numérica"

Para representar números enteros en la recta se toma el 0 como punto de referencia. A la derecha se ubican números positivos y a la izquierda los negativos. La distancia entre los números enteros debe ser igual en toda la recta.

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Práctico:

TEORÍA

 "Los Números Enteros"

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, el cero y los naturales negativos.

ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}

Para asignar números enteros a ciertas situaciones de la vida cotidiana es necesario establecer un punto de referencia (el cero), a partir del cual se asignan números positivos y negativos.

Por ejemplo, las temperaturas positivas son aquellas superiores a 0°C y las negativas, las inferiores.

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Práctico: